A TÉCNICA SECRETA NAS ATIVIDADES DE MATEMÁTICA PARA SEUS ALUNOS ACERTAREM SEMPRE AS CONTAS: O VALOR POSICIONAL.
Houve um momento que me encontrei encurralado por conteúdos matemáticos que me assombravam, sem que eu mesmo pudesse entender porque não conseguia passar do Plano de Aula 4.
Fui surpreendido pela observação do meu orientador de que eu estava fugindo e arrumando desculpas para não encarar ‘o vai um’.
Esse, professora, é um pequeno trecho do depoimento emocionante do aluno de Iniciação Científica, William, do Curso de Pedagogia.
Fugiu em virtude das lembranças amargas de sua História com a Matemática.
O aluno do Ensino Fundamental I ainda não tem maturidade biológica e cognitiva para entender a forma como se ensinam as contas, os algoritmos.
Isso, porque ele se encontra no período das operações concretas. Seu pensamento funciona ancorado no concreto.
Seu raciocínio precisa de algo concreto para auxiliar sua forma de pensar.
Ao ver alguém andando de bicicleta, observo sua ação: andar de bicicleta. Meus olhos viram e minha mente abstraiu essa ação.
Abstraiu, aqui, significa que eu escolhi uma ação sendo executada por alguém e a separei do restante que estava ocorrendo ao redor.
Essa característica, essa ação de alguém andando de bicicleta, é o que Piaget chama de abstração empírica: eu retiro alguma característica de algo que pode ser observado.
Esse processo é muito bem explicado no artigo do professor Fernando Becker.
Quando uma criança de oito anos infere que pode obter o mesmo resultado que obteve somando 3+3+3, multiplicando 3×3, ele coordena as duas ações de somar numa única de multiplicar.
Onde está essa coordenação? No seu cérebro, na sua mente. […] (BECKER, 2014, p. 106). Essa operação mental, é a abstração reflexionante.
Quando olhamos para o ábaco, professora, e lemos o número que ali está representado, na realidade, ali não tem número nenhum. Fomos nós que colocamos esse número lá.
Se dizemos que a bicicleta é um transporte ecológico, o ecológico é uma característica que colocamos no objeto bicicleta, exemplifica Becker.
Isso é uma abstração pseudoempírica. Eu me apoio na bicicleta e retiro desse objeto algo que ali foi colocado.
O aluno do Ensino Fundamental 1 (EFI), professora, opera a partir dessa abstração pseudoempírica. Por isso ele erra tanto as contas.
A conta, o algoritmo, é abstração refletida, coordenação de ações mentais que o aluno do EFI ainda não consegue operar eficientemente.
Por isso, ele precisa do ábaco. O ábaco materializa para ele a conta. Ajuda o aluno a coordenar a efetuar a ação de somar, subtrair, multiplicar e dividir.
O “vai um”, professora, é abstração refletida. Quando analisarmos o que é valor relativo e valor absoluto do número isso ficará mais claro.
Obtenha Melhores Resultados nas Atividades de Matemática Usando o Ábaco.
Houve uma época, professora, na infância da humanidade, que os seres humanos desconheciam os números e não sabiam contar.
Porém, quantificar, contar, torna-se uma necessidade básica das pessoas. Desde que o ser humano se sedentarizou, se fixou em determinado lugar, ele precisou saber a quantidade das coisas, principalmente, para ter meios seguros de sobrevivência.
Ao domesticar os animais, houve a obrigação de se saber quantos animais existiam. Os pastores, ao recolher suas ovelhas, precisavam se certificar se todas estavam ali.
As mãos, por sua mobilidade e efetividade, transformaram-se na primeira máquina de calcular do ser humano.
Mas só temos dez dedos, aos quais se somam os dez dos pés. Quantidades maiores que vinte precisaram de artifícios para se efetuar sua contagem.
Artifícios como pedras e posteriormente entalhes em pedras, ossos, madeiras, argila ajudaram a memorizar grandes quantidades.
Todos os povos criaram sistemas de numeração para contar: sumérios, mesopotâmios, chineses, hindus, gregos, egípcios, maias, árabes etc.
No entanto, contar grandes grupos de coisas obrigou o ser humano a aperfeiçoar os meios de se efetuar essas contas. E as pedras novamente foram utilizadas como meio essencial para esse propósito.
As pedras, agrupadas em montes, iniciaram a arte de calcular: a palavra cálculo originou-se do latim calculus cujo significado é pedrinha.
Da mesma forma que os gregos, os romanos para ensinar seus filhos os processos de contar e calcular usavam pequenas pedras, fichas, bolas, peões, também, pedras de cal.
A palavra calculus, por fim, passou a significar qualquer operação aritmética simples (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.).
As pedras, professora, estão na origem dos contadores mecânicos como os ábacos que são instrumentos criados para calcular quando as quantidades são grandes.
Os povos substituíram os montes de pedras por colunas de pedras e elas passaram a contabilizar as unidades, dezenas e centenas, da direita para a esquerda.
Inventaram, depois, as tábuas de contar: uma prancha com divisões de diversas linhas formando colunas em que se botavam fichas ou pedras.
O ábaco aparece, professora, em pinturas, pedras e outros artefatos que registram a história humana em pesquisas efetuadas por antropólogos, paleontólogos em que surge como instrumento de contagem.
Reis informa que o ábaco surgiu por volta do III milênio a.C. e foi usado até o século XX. A palavra abacus provém do grego abakos cuja origem parece ser hebraica, ibeq, cujo significado é limpar o pó e abaq significando pó. (REIS, 2011, p. 17).
Sumérios, babilônios, egípcios, gregos, romanos, maias, chineses, japoneses, russos todos tiveram seus ábacos. Enquanto não se sistematizou o Sistema de Numeração Indo-arábico com os algoritmos, a humanidade se serviu do ábaco para efetuar seus cálculos.
Tem-se notícias do ábaco sumério que seria em argila ou areia, cerca de 2700 a 2300 a.C. e deve ter sido um quadro com colunas.
Egípcios e gregos, apesar de terem seus sistemas de numeração, tiveram de usar ábacos, pois seus sistemas numéricos dificultavam efetuar cálculos.
A tábua de Salamina, uma ilha grega, foi descoberta em 1846, representa o mais antigo ábaco que se conhece, datado de 300 a.C. Peça de mármore mede 75 cm de largura, 149 de comprimento e 4,5 de espessura. Cada coluna representa ordens de unidades.
A figura mostra também o ábaco de mão romano e a gravura ilustrando a briga que ocorreu entre os que defendiam o ábaco (abacistas) e os que lutavam por implantar os algoritmos, as contas (algoristas).
Valor Posicional
Ainda recentemente, professora, algumas tribos guerreiras da ilha de Madagascar, que não têm sistema de numeração, para contar seus guerreiros, formavam uma fila indiana.
Eles tinham que atravessar uma passagem estreita. Para cada um que passava era colocada uma pedra em um poço no chão. Depois de 10 deles, as dez pedras eram substituídas por uma pedra colocada em outro poço, numa segunda fileira.
Quando neste segundo poço houvesse 10 pedras, elas eram trocadas por uma pedra que era posta em outro poço, em uma terceira fileira.
Em todas as fileiras, cada 10 pedras eram trocadas por uma e colocada na outra fileira.
Se, ao final, na primeira fileira tivessem 4 pedras, na segunda, 2 pedras e na terceira, 3 pedras, eles teriam contado 324 guerreiros.
Esses malgaxes, grupos étnicos de Madagascar, trabalham com um ábaco inventado por eles, informa Ifrah.
Base 10
Provavelmente, a natureza forneceu ao ser humano um número considerável de exemplos do que é o senso numérico: a capacidade de distinguir, sem contar, até quatro.
Aos poucos, a percepção humana foi reconhecendo como diferenciar um objeto de muitos.
As asas de um pássaro mostra, professora, o grupo de dois, o par; a flor de três pétalas anota o grupo de três; a pata do animal exemplifica o grupo de quatro e os dedos das mãos, o grupo de cinco.
No Brasil, a língua Kampa dos Aruák utiliza para o cálculo a correspondência um a um. A mãe Aruák pensa em cozinhar um ovo para cada um de seus quatro filhos e não quatro ovos para seus quatro filhos.
Eles possuem os nomes aparo, apite e mava para designar os numerais 1, 2 e 3.
Para quantidades maiores, eles pensam em termos de vários. (ANDRADE, 2008, p. 34).
Para alguns povos indígenas, apenas o senso numérico é suficiente para seu cotidiano. Não buscam ou buscaram uma compreensão abstrata do número.
Senso numérico – Reconhecer a diferença entre um objeto, um grupo de dois objetos, um grupo de três objetos, a ideia de que um grupo tem mais elementos que outro grupo, percepção de mudança em uma pequena coleção quando um ou mais objetos foram retirados ou acrescentados ao conjunto
Ou seja, para esses povos o senso numérico lhes basta. Ver a diferença entre um objeto, a unidade, grupo de duas unidades, dois e grupo de três objetos.
Perceber que um grupo possui mais objetos que outro grupo e ter a percepção de que um grupo muda quando dele se retira ou se acrescenta objetos.
A mobilidade dos dedos, o ato de apontar, provavelmente, está na origem do número 1 e os dez dedos das mãos iniciaram a façanha de contagem, correspondência um a um: um dedo para cada objeto.
A maioria dos sistemas de numeração decimal que existem no mundo tem como base o 10 e as mãos devem ser razão da invenção da base decimal.
A língua Ali, oriunda da África Central, nomeia o número cinco como moro e o dez como mbouna. Moro quer dizer mão e mbouna duas mãos. (Ifrah, 2005, p. 42).
Como anota o autor, a mão constitui uma espécie de instrumento natural “particularmente desenhado para a tomada de consciência dos dez primeiros números e da aprendizagem da aritmética elementar”.
E a mão facilita o reconhecimento do senso numérico: o polegar afastado dos outros quatro dedos promove a percepção visual imediata dessa capacidade do senso numérico.
A mão, por isso tudo, tornou-se a primeira máquina de calcular do ser humano.
Na origem dos números encontram-se os dez dedos e a correspondência um a um: um dedo para cada objeto.
Mas dedos (mãos e pés), falanges, partes do corpo limitam a quantidade.
Quantidades maiores levaram o ser humano a buscar alternativas. A primeira delas foi usar objetos concretos para quantificar.
As pedras, conchas, objetos feitos de argila ajudavam a estabelecer a quantidade de objetos na correspondência um a um: uma pedra para cada ovelha, por exemplo.
Objetos confeccionados em argila encontrados no Irã são datados de 8.000 a 3.000 a.C., os tokens, expressam sinais para transmitir valores de quantidades.
Uma esfera de argila representava uma grande medida de grãos. Um cone de argila, uma pequena quantidade.
Ainda era a correspondência um a um: 10 ovoides de argila correspondiam a 10 potes de óleo. (Schmandt-Besserat)
Pedras em grandes quantidades e mesmo objetos em argila não são muito práticos para quantidades muito grandes.
A solução encontrada pelo ser humano foi o entalhe em ossos, madeira ou mesmo argila.
Os dedos das mãos forneceram, assim, o alicerce para a correspondência um a um em que se descobriu a noção de cardinal.
O número tem um nome e o número cardinal é o nome de qualquer quantidade. Seis andares expressa a quantidade de andares de um prédio: é seu cardinal.
Um dedo pode ser considerado o primeiro símbolo padrão da unidade: os dedos se repetem nas mãos, ou seja, a repetição desse símbolo padrão.
A quantidade de dedos em cada mão é cinco, nas duas, dez. Os cardinais cinco e dez.
O Sistema de Numeração Egípcio usava como símbolo padrão da unidade um traço. E o repetia até 9 unidades. O Sistema de Numeração Romano utilizava um traço para a unidade e o repetia até quatro vezes.
É quase universal: a maioria dos povos usou o traço para a unidade.
Mas para contar, não basta apenas representar ou dar um nome para a unidade. É necessário o seu aspecto ordinal.
Ao dobrar um dedo da mão, ressalta-se esse aspecto ordinal: é o terceiro dedo. Ou seja, o lugar, a posição, a ordem que o dedo ocupa na mão.
O prédio de seis andares possui uma ordem em que o último andar é o sexto andar. É o número ordinal indicando a ordem, o lugar, a posição do andar no prédio na sequência de andares: uma série de seis andares.
Quanto maior a quantidade, maior a dificuldade de contagem. Imagine, professora, uma sequência de mil soldados contados na correspondência um a um com pedras, ou mesmo traços em ossos ou argila.
Seria uma quantidade grande de pedras, traços…
Os sistemas de numeração surgiram dessa dificuldade. Foi a solução inventada pelo ser humano para contar grandes quantidades usando um mínimo de símbolos.
Daí, o agrupamento: primeiro de pedras, depois de traços. Agrupam-se traços de 5 em 5, de dez em dez.
Em seguida, cria-se um símbolo para cada agrupamento de dez, por exemplo. É o princípio da base, no caso base dez, decimal, tendo como origem os dez dedos das mãos.
E criaram-se ordens para cada agrupamento: cada agrupamento sendo uma unidade. A unidade de primeira ordem, unidades; unidades de segunda ordem, dezenas; unidades de terceira ordem, centenas.
Os malgaxes (veja acima), enfileirando pedras para contar seus guerreiros, usam concretamente o princípio da base dez, utilizando a correspondência um a um com essas pedras.
Como Uma Nova Descoberta Pode Transformar Um Aluno “Fracassado” em Um Aluno Que Sabe Matemática.
Os sistemas de numeração demoraram milhares de anos para serem construídos.
Cada criança, para realmente, aprender Matemática e realizar as quatro operações sem erros, precisa construir o número operatório em alguns poucos anos.
Ela precisa entender a diferença entre ter quatro balas e a quarta bala, ou seja, os aspectos cardinal e ordinal dos números.
Saber, professora, que o nome da quantidade – cinco maçãs – tem um valor absoluto e não indica nenhuma posição.
No número ou numeral 555, cada 5 tem esse valor absoluto de seu número, que é seu nome, cinco.
Porém, cada algarismo 5 tem um valor relativo diferente nesse numeral: o primeiro 5, da direita, vale 5 unidades, o segundo, vale 5 dezenas e o terceiro, vale 5 centenas.
O primeiro cinco é um pacote de 5 unidades. O segundo, um pacote com 5 dezenas e o terceiro, um pacote com 5 centenas.
Esse valor relativo ou valor posicional do algarismo fica bem explícito, em alguns numerais, ao serem falados por extenso. Cento e vinte e quatro, por exemplo: 100 + 20 + 4. Pacotes de 100 + pacotes de 20 + pacotes de 4 unidades.
Saber a diferença entre o valor posicional, relativo, e o valor absoluto do algarismo facilita a vida do aluno quando for fazer as quatro operações matemáticas fundamentais.
Entendendo que o Valor Posicional, na realidade, são agrupamentos, pacotes de unidades agrupadas a partir da base 10, ou seja, entender os pilares de um Ensino Orgânico: o agrupamento, o valor posicional e o Sistema de Numeração Decimal.
O SND tornou-se basicamente dominante no mundo por sua eficiência e eficácia. Apenas 10 algarismos possibilitam escrever qualquer numeral e efetuar quaisquer das quatro operações matemáticas fundamentais.
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São frutos das discussões e análises efetivadas nos dez anos do Laboratório de Iniciação Científica para ensino-aprendizagem de Matemática para estudantes de Pedagogia.
Daí, surgiram esses 24 Vídeos-oficinas que discutem a melhor forma de ensinar As Quatro Operações Matemáticas Fundamentais.
